ฟังก์ชัน

ความหมายของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

นั่นคือ       ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก           r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y  ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าว ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันจาก A ไป B • ฟังก์ชันจาก A ไป B          f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซต ของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B          f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของ เซต B เขียนแทนด้วย f : A  B • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B          f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B          หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2 • ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด   ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df   ♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A   ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)   ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A   ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2) ฟังก์ชันอินเวอร์ส เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้  เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้อง เป็นฟังก์ชันเสมอไป   ตัวอย่างเช่น กำหนด f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)}     ∴ f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน     กำหนด g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)}     ∴ g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน       เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า  ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง   สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส     กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน   1. f - 1 เป็นฟังก์ชัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1   2. Df = R f - 1 และ Rf = Df - 1

 ฟังก์ชันคอมโพสิท

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg

ตัวอย่างที่ 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ
		f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ
		g = {(4,7), (5,7), (6,8)}
	(gof)(1)	= g(f(1))	= g(5)	= 7
	(gof)(2)	= g(f(2))	= g(4)	= 7
	(gof)(3)	= g(f(3))	= g(6)	= 8
	∴ gof	= {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A
ข้อสังเกต	จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø