สมบัติของการไม่เท่ากัน บทนิยาม a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b a > b     หมายถึง    a มากกว่า b • สมบัติของการไม่เท่ากัน กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

สมบัติของจำนวนจริง • สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1	กฎการตัดออกสำหรับการบวก
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
	ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2	กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
	ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a · 0 = 0
	0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	(-1)a = -a
	a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a(-b) = -ab
	(-a)b = -ab
	(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a- b = a + (-b)
	นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
	= a(b-1)
	นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b